1. 其中 是系数，满足 ：

   • 。
   • 是高斯分布密度函数，称作第 个分模型， ：

2. 如果用其他的概率分布密度函数代替上式中的高斯分布密度函数，则称为一般混合模型。

3.2 参数估计

1. 假设观察数据 由高斯混合模型 生成，其中 。

   可以通过算法估计高斯混合模型的参数 。

2. 完全数据的对数似然函数为：

   

   其对数为：

   

   即：。

   则 函数为：

   求极大值： 。

   根据偏导数为 0，以及 得到：

   • ：

     其中： ，其物理意义为：所有的观测数据 中，产生自第 个分模型的观测数据的数量。

   • ：

     

     其中： ，其物理意义为：所有的观测数据 中，产生自第 个分模型的观测数据的总和。

   • ：

     其中： ，其物理意义为：所有的观测数据 中，产生自第 个分模型的观测数据，偏离第 个模型的均值（ ）的平方和。

3. 高斯混合模型参数估计的算法：

   • 输出：高斯混合模型参数

   • 算法步骤：

     • 随机初始化参数 。

     • 根据 迭代求解 ，停止条件为：对数似然函数值或者参数估计值收敛。

       

       其中：

       • 。

         其物理意义为：所有的观测数据 中，产生自第 个分模型的观测数据的数量。

       • 其物理意义为：所有的观测数据 中，产生自第 个分模型的观测数据，偏离第 个模型的均值（ ）的平方和。