1. 传统模型非常依赖于特征工程从而捕获潜在的高阶模式，而 FM 等模型通过自动特征交叉捕获二阶交叉特征。

   论文 Product-based Neural Networks for User Response Prediction 提出了 Product-based Neural Networks:PNN 模型，该模型构建了一个 embedding 层来学习离散特征的分布式representation，构建一个 product 层来自动捕捉离散特征的潜在高阶模式。

1. 假设有 个 field，one-hot 向量为 ，field i 在向量中的起始位置为 、终止位置为 （包含）。

   每个 field 生成一个 embedding 向量。即 field i 生成 。

   模型包含以下几层：

   • 第 0 层输入层：categorical 经过 one-hot 编码之后作为输入

   • 第1层embedding 层：模型从每个 field 中学得各 field 的 embedding 表示。

     输入位置 仅仅与 相连，即：局部连接：

     

     其中 为映射参数，它由 的第 到第 列组成。

   • 第2层 product 层：由embedding 特征的一阶特征和二阶交叉特征拼接而成。其中 部分表示一阶特征， 部分表示二阶特征。为统一生成方式， 由常数 1 和一阶特征交叉生成。

     

     表示成对特征交叉，当定义不同的 函数时，就定义了不同的 PNN 实现。

     该层的输出为：

     其中 表示对提取的一阶特征和二阶特征通过 和 各自分别进行进一步的特征抽取的数量。 类似于 CNN 的卷积核，其尺寸为整个图片大小， 为卷积核的数量， 表示第 个卷积核。

     表示张量的内积，定义为：

     

   • 第3层到第 层：全连接层。

     

   • 最后一层：sigmoid 输出层。

   模型的损失函数为 logloss：

   

3.1.1 IPNN

1. Inner Product-based neural network:IPNN： 的特征交叉函数为：

   则有：

   

   则计算 的复杂度为：

   • 空间复杂度： 。

1. 为降低复杂度，可以将 分解：

   

   则有：

   其中 。

   则有：

   则计算 的复杂度为：

   • 空间复杂度：
   • 时间复杂度：

2. 仅仅是一阶分解，实际上可以进行更加通用的 阶分解：

   其中 。此时有：

3.1.2 OPNN

1. Outer Product-based neural network:OPNN ：OPNN 的特征交叉函数为：

   

   与内积产生标量不同，这里的外积产生一个矩阵。

   则 。

   计算 的复杂度为：

   • 空间复杂度： 。它完全由 主导。
   • 时间复杂度： 。它完全由 主导。

2. 为降低复杂度，定义：

   此时 。

   则计算 的复杂度为：

   • 空间复杂度： 。

     它们分别是计存储 的空间需求。

   • 时间复杂度： 。

3.1.3 讨论

1. 当移除 product 层的 部分时，IPNN 和 OPNN 完全相同。

2. 当采用 IPNN 时，IPNN 和 FM 模型非常相似。

   • FM 模型将抽取的一阶、二阶特征直接送入分类器
   • IPMM 模型将抽取的一阶、二阶特征，首先使用类似 CNN 的 “核函数” （由 给出）抽取 个特征，然后将抽取后的特征送入 DNN 。

3.2 实验

1. 数据集：

   • iPinYou：该数据集是一个公开的、真实的展示广告数据集，包含 1950万曝光数据，其中点击数据 14790个。
   • Criteo：一个著名的广告 benchmark 数据集，包含 1TB 的点击日志。

   论文采用连续的 7 天来训练，第 8 天数据来评估。

2. 不同模型的评估结果如下所示，其中评估指标为 AUC,Logloss,RMSE,RIG 。RIG 表示相对信息增益 Relative Information Gain ，它等于 1-NE ，其中 NE 为归一化的交叉熵。

   • 模型配置：

     • FM 模型的 embedding 向量维度为 10 维。
     • 模型有一个 embedding 层、2个卷积层、1个最大池化层、1个隐层，一共五层。
     • FNN 模型有1个 embedding层、3个隐层，一共四层。
     • PNN模型有1个 embedding 层、1个 product 层、3个隐层，一共五层。
     • PNN*模型和 IPNN,OPNN 相同，但是 product 层是内积和外积的拼接。

     另外：LR,FM 使用 L2 正则化；FNN,CCPM,PNN 使用 dropout (0.5的遗忘率) 。

   • • FM 模型战胜了 LR 模型，说明 FM 模型有效的捕捉到了特征交互。
     • 神经网络模型（FNN,CCPM,IPNN,OPNN,PNN* ）战胜了 LR 模型和 FM 模型，说明神经网络模型捕捉到了更高阶的潜在模式 latent pattern 。
     • 总体而言 PNN 模型效果最好（包括 IPNN 和 OPNN 模型）。