例如：假设需要识别一大箱苹果中的好苹果、坏苹果的概率。

• 根据你对苹果好、坏的认知，给出先验分布为：50个好苹果和50个坏苹果。

• 现在你拿出10个苹果，发现有：8个好苹果，2个坏苹果。

  根据数据，你得到后验分布为：58个好苹果，52个坏苹果

• 再拿出10个苹果，发现有：9个好苹果，1个坏苹果。

  根据数据，你得到后验分布为：67个好苹果，53个坏苹果

• 这样不断重复下去，不断更新后验分布。当一箱苹果清点完毕，则得到了最终的后验分布。

在这里：

• 采用了先验分布之后得到的分布，可以认为是所有箱子里的苹果的分布。
• 当采用先验分布时：给出的好、坏苹果的个数（也就是频数）越大，则先验分布越占主导地位。

其中 为组合数。

现在的问题是：好苹果的概率 不再固定，而是服从一个分布。

假设好苹果的概率 的先验分布为贝塔分布： 。

则后验概率为：

归一化之后，得到后验概率为：

• 根据上述例子所述：

  • 进行第一轮数据校验之后，好苹果的后验概率的期望为

• 如果将 视为先验的好苹果数量， 视为先验的坏苹果数量， 表示箱子中苹果的数量， 表示箱子中的好苹果数量（相应的， 就是箱子中坏苹果的数量）。则：好苹果的先验概率分布的期望、后验概率分布的期望符合人们的生活经验。

• 这里使用先验分布和后验分布的期望，因为 是一个随机变量。若想通过一个数值来刻画好苹果的可能性，则用期望较好。

更一般的，如果苹果不仅仅分为好、坏两种，而是分作尺寸1、尺寸2、...尺寸K等。则 个苹果中，有 个尺寸1的苹果、 个尺寸2的苹果…. 个尺寸 的苹果的概率服从多项式分布：

其中苹果为尺寸1的概率为 ， 尺寸2的概率为 ，… 尺寸 的概率为 ，

• 假设苹果尺寸的先验概率分布为狄利克雷分布： 。

  苹果尺寸的先验概率分布的期望为： 。

• 苹果尺寸的后验概率分布的期望为： 。