保序回归


      大部分时候，我们会在括号前加上权重w_i。解决这个问题的一个方法就是 pool adjacent violators algorithm(PAVA) 算法。粗略的讲，PAVA算法的过程描述如下：

      我们从左边的y_1开始，右移y_1直到我们遇到第一个违例(violation)即y_i < y_i+1，然后，我们用违例之前的所有y的平方替换这些y，以满足单调性。我们继续这个过程，直到我们最后到达y_n。

      给定一个序列y_1,y_2,...,y_n，我们寻找一个近似单调估计，考虑下面的问题

    1.2

      在上式中，X_+表示正数部分，即X_+ = X.1 (x>0)。这是一个凸优化问题，处罚项处罚违反单调性（即beta_i > beta_i+1）的邻近对。

      在公式（2）中，隐含着一个假设，即使用等距的网格测量数据点。如果情况不是这样，那么可以修改惩罚项为下面的形式


      x_i表示y_i测量得到的值。

      这个算法是标准PAVA算法的修改版本，它并不从数据的左端开始，而是在需要时连接相邻的点，以产生近似保序最优的顺序。相比一下，PAVA对中间的序列并不特别感兴趣，只关心最后的序列。

      有下面一个引理成立。

    1.4

      这个引理证明的事实极大地简化了近似保序解路径（solution path）的构造。假设在参数值为lambda的情况下，有K_lambda个连接块，我们用A_1,A_2,..,A_K_lambda表示。这样我们可以重写（2）为如下（3）的形式。


      上面的公式，对beta求偏导，可以得到下面的次梯度公式。通过这个公式即可以求得beta。

    1.6

      为了符合方便，令s_0 = s_K_lambda = 0。并且，


      现在假设，当lambda在一个区间内增长时，组A_1,A_2,...,A_K_lambda不会改变。我们可以通过相应的lambda区分（4）。

    1.8

      这个公式的值本身是一个常量，它意味着上式的beta是的线性函数。

      随着lambda的增长，方程（5）将连续的给出解决方案的斜率直到组A_1,A_2,...,A_K_lambda改变。更加引理1，只有两个组合并时，这才会发生。m_i表示斜率，那么对于每一个i=1,...,K_lambda - 1，A_i和A_i+1合并之后得到的公式如下


      因此我们可以一直移动，直到lambda “下一个”值的到来

    1.10

      并且合并A_i^star和A_i^star+1,其中


      注意，可能有超过一对组别到达了这个最小值，在这种情况下，会组合所有满足条件的组别。公式（7）和（8）成立的条件是t_i,i+1大于lambda，如果没有t_i,i+1大于lambda，说明没有组别可以合并，算法将会终止。

      算法的流程如下：

    • 初始时，lambda=0，K_lambda=n,A_i={i},i=1,2,...,n。对于每个i，解是beta_lambda,i = y_i

    • 重复下面过程

      1、通过公式（5）计算每个组的斜率m_i

      2、通过公式（6）计算没对相邻组的碰撞次数t_i,i+1

      3、如果t_i,i+1 < lambda，终止

      4、计算公式（7）中的临界点lambda^star,并根据斜率更新解

    1.12

      对于每个i，根据公式（8）合并合适的组别（所以K_lambda^star = K_lambda - 1），并设置lambda = lambda^star。

      在1.6.x版本中，并没有实现近似保序回归，后续会实现。现在我们只介绍一般的保序回归算法实现。

      parallelPoolAdjacentViolators方法用于实现保序回归的训练。parallelPoolAdjacentViolators方法的代码如下：

    1. private def parallelPoolAdjacentViolators(
    2.       input: RDD[(Double, Double, Double)]): Array[(Double, Double, Double)] = {
    3.     val parallelStepResult = input
    5.       .glom()//合并不同分区的数据为一个数组
    6.       .flatMap(poolAdjacentViolators)
    7.       .collect()
    8.       .sortBy(x => (x._2, x._1)) // Sort again because collect() doesn't promise ordering.
    9.     poolAdjacentViolators(parallelStepResult)
    10.   }

      parallelPoolAdjacentViolators方法的主要实现是poolAdjacentViolators方法，该方法主要的实现过程如下：

      pool方法的实现如下所示。

    1. def pool(input: Array[(Double, Double, Double)], start: Int, end: Int): Unit = {
    2.       //取得i到j之间的元组组成的子序列
    3.       val poolSubArray = input.slice(start, end + 1)
    4.       //求子序列sum（label * w）之和
    5.       val weightedSum = poolSubArray.map(lp => lp._1 * lp._3).sum
    6.       val weight = poolSubArray.map(_._3).sum
    7.       var i = start
    8.       //子区间的所有元组标签相同，即拥有相同的预测
    9.       while (i <= end) {
    10.         //修改标签值为两者之商
    11.         input(i) = (weightedSum / weight, input(i)._2, input(i)._3)
    12.         i = i + 1
    13.       }
    14. }

      经过上文的处理之后，input根据中的label和feature均是按升序排列。对于拥有相同预测的点，我们只保留两个特征边界点。

      最后将训练的结果保存为模型。

    1. //标签集
    2. val predictions = if (isotonic) pooled.map(_._1) else pooled.map(-_._1)
    3. //特征集

      当测试数据精确匹配一个边界，那么返回相应的特征。如果测试数据比所有边界都大或者小，那么分别返回第一个和最后一个特征。当测试数据位于两个边界之间，使用linearInterpolation方法计算特征。
    这个方法是线性内插法。