练习40：二叉搜索树

二叉树是最简单的树形数据结构，虽然它在许多语言中被哈希表取代，但仍旧对于一些应用很实用。二叉树的各种变体可用于一些非常实用东西，比如数据库的索引、搜索算法结构、以及图像处理。

我把我的二叉树叫做，描述它的最佳方法就是它是另一种Hashmap形式的键值对储存容器。它们的差异在于，哈希表为键计算哈希值来寻找位置，而二叉树将键与树中的节点进行对比，之后深入树中找到储存它的最佳位置，基于它与其它节点的关系。

在我真正解释它的工作原理之前，让我向你展示bstree.h头文件，便于你看到数据结构，之后我会用它来解释如何构建。

这遵循了我之前用过的相同模式，我创建了一个基容器叫做BSTree，它含有叫做BSTreeNode的节点，组成实际内容。厌倦了吗？是的，这种结构也没有什么高明之处。

最重要的部分是，BSTreeNode如何配置，以及它如何用于进行每个操作：设置、获取和删除。我会首先讲解get，因为它是最简单的操作，并且我会在数据结构上手动操作：

我获得你要找的键，并且用根节点开始遍历，首先我将你的键与这个节点的键进行对比。
如果你的键小于node.key，我使用left指针来详细遍历。
如果你的键大于node.key，我使用right指针来详细遍历。
重复第二步和第三部，知道我找到了匹配node.key的节点，或者我遍历到了没有左子树或右子树的节点。这种情况我会返回node.data，其它情况会返回NULL。

这就是get的全部操作，现在是set，它几乎执行相同的操作，除了你在寻找防止新节点的位置。

如果BSTree.root为空，就算是执行完成了。它就是第一个节点。
如果你的键小于或等于node.key，我会遍历左子树，否则是右子树。
重复第三步，直到我到达了没有左子树或右子树的节点，但是这是我需要选择的方向。
我选择了这个方向（左或者右）来放置新的节点，并且将这个新节点的父节点设为我来时的上一个节点。当我删除它时，我会使用它的父节点。

这也解释了它如何工作。如果寻找一个节点涉及到按照键的对比来遍历左子树或右子树，那么设置一个节点涉及到相同的事情，直到我找到了一个位置，可以在其左子树或右子树上放置新的节点。

花一些时间在纸上画出一些树并且遍历一些节点来进行查找或设置，你就可以理解它如何工作。之后你要准备好来看一看实现，我在其中解释了删除操作。删除一个节点非常麻烦，因此它最适合逐行的代码分解。

在讲解BSTree_delete如何工作之前，我打算解释一下我用于执行递归函数的模式。你会发现许多树形数据结构都易于使用递归来编写，而写成单个函数的形式相当困难。一部分原因在于你需要为第一次操作建立一些初始的数据，之后在数据结构中递归，这难以写成一个函数。

解决办法就是使用两个函数。一个函数“建立”数据结构和首次递归的条件使第二层函数能够执行真正的逻辑。首先看一看BSTree_get来理解我所说的。

我设置了初始条件来处理递归，如果map->NULL是，那么就返回NULL并且不需要递归。
之后我执行了真正的递归调用，它就是BSTree_getnode。我设置了根节点的初始条件、key和map。
之后在BSTree_getnode中，我执行了真正的递归逻辑，我将是用map->compare(node->key, key)来进行键的比对，并且根据结果遍历左子树或右子树，或者相等。
由于这个函数时“自相似”的，并且不用处理任何初始条件（因为BSTree_get处理了），我就可以使它非常简单。当它完成时会返回给调用者，最后把结构返回给BSTree_get。

这种构造递归算法的方法，与我构造递归数据结构的方法一致。我创建了一个起始的“基函数”，它处理初始条件和一些边界情况，之后它调用了一个简洁的递归函数来执行任务。与之相比，我在BStree中创建了“基结构”，它持有递归的BSTreeNode结构，每个节点都引用树中的其它节点。使用这种模式让我更容易处理递归并保持简洁。

接下来，浏览BSTree_set 和 BSTree_setnode，来观察相同的模式。我使用BSTree_set来确保初始条件和便捷情况。常见的边界情况就是树中没有根节点，于是我需要创建一个函数来初始化它们。

这个模式适用于几乎任何递归的算法。我按照这种模式来编写它们：

理解初始变量，它们如何改变，以及递归每一步的终止条件。
编写调用自身的递归函数，带有参数作为终止条件和初始变量。
编程一个启动函数来设置算法的初始条件，并且处理边界情况，之后调用递归函数。
最后，启动函数返回最后的结果，并且如果递归函数不能处理最终的边界情况可能还要做调整。

这引导了我完成BSTree_delete和BSTree_node_delete。首先你可以看一下BSTree_delete和它的启动函数，它获取结果节点的数据，并且释放找到的节点。在BSTree_node_delete中事情就变得复杂了，因为要在树中任意位置删除一个节点，我需要将子节点翻转上来。我会逐行拆分这个函数：

bstree.c:190

bstree.c:192-198

这是“小于”的分支，我应该移到左子树。这里左子树并不存在并且返回了NULL来表示“未找到”。这处理了一些不在中元素的删除操作。

bstree.c:199-205

和上面相同，但是是对于树的右侧分支。这就像其它函数一样只是在树中向下遍历，并且在不存在时返回NULL。

bstree.c:206

这里是发现目标节点的地方，因为键是相等的（compare返回了0）。

bstree.c:207

这个节点同时具有left和right分支，所以它深深嵌入在树中。

bstree.c:209

要移除这个节点，我首先要找到大于这个节点的最小节点，这里我在右子树上调用了BSTree_find_min。

bstree.c:210

一旦我获得了这个几点，我将它的key和data与当前节点互换。这样就高效地将当前节点移动到树的最底端，并且不同通过它的指针来调整节点。

bstree.c:214

现在successor是一个无效的分支，储存了当前节点的值。然而它可能还带有右子树，也就是说我必须做一个旋转使它的右节点上来代替它。

bstree.c:217

到此为止，successor已经从树中移出了，它的值被当前节点的值代替，它的任何子树都合并进了它的父节点。我可以像node一样返回它。

这个分支中，我了解到这个节点没有右子树只有左子树，所以我可以简单地用左节点来替代它。

bstree.c:219

我再次使用BSTree_replace_node_in_parent来执行替换，把左节点旋转上去。

bstree.c:220

这是只有右子树而没有左子树的情况，所以需要将右节点旋转上去。

bstree.c:221

再次使用相同的函数，这次是针对右节点。

bstree.c:222

最后，对于我发现的节点只剩下一种情况，就是它没有任何子树（没有做子树也没有右子树）。这种情况，我只需要使用相同函数以NULL来执行替换。

bstree.c:210

在此之后，我已经将当前节点从书中移除，并且以某个合适的子节点的元素来替换。我只需要把它返回给调用者，使它能够被释放或管理。

这个操作非常复杂，实话说，在一些树形数据结构中，我并不需要执行删除，而是把它当做软件中的常亮数据。如果我需要做繁杂的插入和删除工作，我会使用Hashmap。

最后，你可以查看它的单元测试以及测试方法：

我要重点讲解test_fuzzing函数，它是针对复杂数据结构的一种有趣的测试技巧。创建一些键来覆盖BSTree_node_delete的所有分支相当困难，而且有可能我会错过一些边界情况。更好的方法就是创建一个“模糊测试”的函数来执行所有操作，并尽可能以一种可怕且随机的方式执行它们。这里我插入了一系列随机字符串的键，之后我删除了它们并试着在删除之后获取它们的值。

这种测试可以避免只测试到你知道能正常工作的部分，这意味着你不会遗漏不知道的事情。通过想你的数据结构插入一些随机的垃圾数据，你可以碰到意料之外的事情，并检测出任何bug。

不要完成下列任何习题，因为在下个练习中我会使用这里的单元测试，来教你使用一些性能调优的技巧。在你完成练习41之后，你需要返回来完成这些习题。

像之前一样，你应该执行所有防御性编程检查，并且为不应发生的情况添加assert。例如，你不应该在递归函数中获取到NULL，为此添加断言。
遍历函数按照左子树、右子树和当前节点的顺组进行遍历。你可以创建相反顺序的遍历函数。
每个节点上都会执行完整的字符串比较，但是我可以使用Hashmap的哈希函数来提升速度。我可以计算键的哈希值，在BSTreeNode中储存它。之后在每个创建的函数中，我可以实现计算出键的哈希值，然后在递归中向下传递。我可以使用哈希来很快地比较每个节点，就像Hashmap那样。

附加题

查询你能找到的所有不同的树的相关资料。比如AVL树、红黑树、以及一些非树形结构例如跳转表。