特殊数据结构：单调队列

    也许这种数据结构的名字你没听过，其实没啥难的，就是一个「队列」，只是使用了一点巧妙的方法，使得队列中的元素单调递增（或递减）。这个数据结构有什么用？可以解决滑动窗口的一系列问题。

    看一道 LeetCode 题目，难度 hard：

    这道题不复杂，难点在于如何在 O(1) 时间算出每个「窗口」中的最大值，使得整个算法在线性时间完成。在之前我们探讨过类似的场景，得到一个结论：

    在一堆数字中，已知最值，如果给这堆数添加一个数，那么比较一下就可以很快算出最值；但如果减少一个数，就不一定能很快得到最值了，而要遍历所有数重新找最值。

    回到这道题的场景，每个窗口前进的时候，要添加一个数同时减少一个数，所以想在 O(1) 的时间得出新的最值，就需要「单调队列」这种特殊的数据结构来辅助了。

    一个普通的队列一定有这两个操作：

    一个「单调队列」的操作也差不多：

    2.     // 在队尾添加元素 n
    3.     void push(int n);
    4.     // 返回当前队列中的最大值
    5.     int max();
    6.     // 队头元素如果是 n，删除它
    7.     void pop(int n);
    8. }

    当然，这几个 API 的实现方法肯定跟一般的 Queue 不一样，不过我们暂且不管，而且认为这几个操作的时间复杂度都是 O(1)，先把这道「滑动窗口」问题的解答框架搭出来：

    图示

    二、实现单调队列数据结构

    首先我们要认识另一种数据结构：deque，即双端队列。很简单：

    1. class deque {
    2.     // 在队头插入元素 n
    3.     void push_front(int n);
    4.     // 在队尾插入元素 n
    5.     void push_back(int n);
    6.     // 在队头删除元素
    7.     void pop_front();
    8.     // 在队尾删除元素
    9.     void pop_back();
    10.     int front();
    12.     int back();
    13. }

    而且，这些操作的复杂度都是 O(1)。这其实不是啥稀奇的数据结构，用链表作为底层结构的话，很容易实现这些功能。

    「单调队列」的核心思路和「单调栈」类似。单调队列的 push 方法依然在队尾添加元素，但是要把前面比新元素小的元素都删掉：

    你可以想象，加入数字的大小代表人的体重，把前面体重不足的都压扁了，直到遇到更大的量级才停住。

    如果每个元素被加入时都这样操作，最终单调队列中的元素大小就会保持一个单调递减的顺序，因此我们的 max() API 可以可以这样写：

    1. int max() {
    2.     return data.front();
    3. }

    pop() API 在队头删除元素 n，也很好写：

    之所以要判断 data.front() == n，是因为我们想删除的队头元素 n 可能已经被「压扁」了，这时候就不用删除了：

    特殊数据结构：单调队列 - 图4

    至此，单调队列设计完毕，看下完整的解题代码：

    1. class MonotonicQueue {
    2. private:
    3.     deque<int> data;
    4. public:
    5.     void push(int n) {
    6.         while (!data.empty() && data.back() < n) 
    7.             data.pop_back();
    8.         data.push_back(n);
    9.     }
    11.     int max() { return data.front(); }
    13.         if (!data.empty() && data.front() == n)
    14.             data.pop_front();
    15.     }
    16. };
    18. vector<int> maxSlidingWindow(vector<int>& nums, int k) {
    19.     MonotonicQueue window;
    20.     vector<int> res;
    21.     for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
    22.         if (i < k - 1) { //先填满窗口的前 k - 1
    23.             window.push(nums[i]);
    24.         } else { // 窗口向前滑动
    25.             window.push(nums[i]);
    26.             res.push_back(window.max());
    27.             window.pop(nums[i - k + 1]);
    28.         }
    29.     }
    30.     return res;

    读者可能疑惑，push 操作中含有 while 循环，时间复杂度不是 O(1) 呀，那么本算法的时间复杂度应该不是线性时间吧？

    单独看 push 操作的复杂度确实不是 O(1)，但是算法整体的复杂度依然是 O(N) 线性时间。要这样想，nums 中的每个元素最多被 push_back 和 pop_back 一次，没有任何多余操作，所以整体的复杂度还是 O(N)。

    空间复杂度就很简单了，就是窗口的大小 O(k)。

    四、最后总结

    有的读者可能觉得「单调队列」和「优先级队列」比较像，实际上差别很大的。

    单调队列在添加元素的时候靠删除元素保持队列的单调性，相当于抽取出某个函数中单调递增（或递减）的部分；而优先级队列（二叉堆）相当于自动排序，差别大了去了。

    赶紧去拿下 LeetCode 第 239 道题吧～

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