Union-Find算法详解

    说起这个 Union-Find，应该算是我的「启蒙算法」了，因为《算法4》的开头就介绍了这款算法，可是把我秀翻了，感觉好精妙啊！后来刷了 LeetCode，并查集相关的算法题目都非常有意思，而且《算法4》给的解法竟然还可以进一步优化，只要加一个微小的修改就可以把时间复杂度降到 O(1)。

    废话不多说，直接上干货，先解释一下什么叫动态连通性吧。

    简单说，动态连通性其实可以抽象成给一幅图连线。比如下面这幅图，总共有 10 个节点，他们互不相连，分别用 0~9 标记：

    现在我们的 Union-Find 算法主要需要实现这两个 API：

    这里所说的「连通」是一种等价关系，也就是说具有如下三个性质：

    1、自反性：节点和p是连通的。

    2、对称性：如果节点p和q连通，那么q和p也连通。

    3、传递性：如果节点p和q连通，q和r连通，那么p和r也连通。

    比如说之前那幅图，0～9 任意两个不同的点都不连通，调用connected都会返回 false，连通分量为 10 个。

    如果现在调用union(0, 1)，那么 0 和 1 被连通，连通分量降为 9 个。

    再调用union(1, 2)，这时 0,1,2 都被连通，调用connected(0, 2)也会返回 true，连通分量变为 8 个。

    Union-Find算法详解 - 图2

    判断这种「等价关系」非常实用，比如说编译器判断同一个变量的不同引用，比如社交网络中的朋友圈计算等等。

    这样，你应该大概明白什么是动态连通性了，Union-Find 算法的关键就在于union和connected函数的效率。那么用什么模型来表示这幅图的连通状态呢？用什么数据结构来实现代码呢？

    注意我刚才把「模型」和具体的「数据结构」分开说，这么做是有原因的。因为我们使用森林（若干棵树）来表示图的动态连通性，用数组来具体实现这个森林。

    1. class UF {
    2.     // 记录连通分量
    3.     private int count;
    4.     // 节点 x 的节点是 parent[x]
    5.     private int[] parent;
    7.     /* 构造函数，n 为图的节点总数 */
    8.     public UF(int n) {
    9.         // 一开始互不连通
    10.         this.count = n;
    11.         // 父节点指针初始指向自己
    12.         parent = new int[n];
    13.         for (int i = 0; i < n; i++)
    14.             parent[i] = i;
    15.     }
    17.     /* 其他函数 */
    18. }

    如果某两个节点被连通，则让其中的（任意）一个节点的根节点接到另一个节点的根节点上：

    Union-Find算法详解 - 图4

    1. public void union(int p, int q) {
    2.     int rootP = find(p);
    3.     int rootQ = find(q);
    4.     if (rootP == rootQ)
    5.         return;
    6.     // 将两棵树合并为一棵
    7.     parent[rootP] = rootQ;
    8.     // parent[rootQ] = rootP 也一样
    9.     count--; // 两个分量合二为一
    10. }
    12. /* 返回某个节点 x 的根节点 */
    13. private int find(int x) {
    14.     // 根节点的 parent[x] == x
    15.     while (parent[x] != x)
    16.         x = parent[x];
    17.     return x;
    18. }
    20. /* 返回当前的连通分量个数 */
    21. public int count() { 
    22. }

    这样，如果节点p和q连通的话，它们一定拥有相同的根节点：

    至此，Union-Find 算法就基本完成了。是不是很神奇？竟然可以这样使用数组来模拟出一个森林，如此巧妙的解决这个比较复杂的问题！

    那么这个算法的复杂度是多少呢？我们发现，主要 API和union中的复杂度都是find函数造成的，所以说它们的复杂度和find一样。

    find主要功能就是从某个节点向上遍历到树根，其时间复杂度就是树的高度。我们可能习惯性地认为树的高度就是logN，但这并不一定。logN的高度只存在于平衡二叉树，对于一般的树可能出现极端不平衡的情况，使得「树」几乎退化成「链表」，树的高度最坏情况下可能变成N。

    Union-Find算法详解 - 图6

    所以说上面这种解法，find,union,connected的时间复杂度都是 O(N)。这个复杂度很不理想的，你想图论解决的都是诸如社交网络这样数据规模巨大的问题，对于union和connected的调用非常频繁，每次调用需要线性时间完全不可忍受。

    问题的关键在于，如何想办法避免树的不平衡呢？只需要略施小计即可。

    我们要知道哪种情况下可能出现不平衡现象，关键在于union过程：

    1. public void union(int p, int q) {
    2.     int rootP = find(p);
    3.     int rootQ = find(q);
    4.     if (rootP == rootQ)
    5.         return;
    6.     // 将两棵树合并为一棵
    7.     parent[rootP] = rootQ;
    8.     // parent[rootQ] = rootP 也可以
    9.     count--;

    我们一开始就是简单粗暴的把p所在的树接到q所在的树的根节点下面，那么这里就可能出现「头重脚轻」的不平衡状况，比如下面这种局面：

    长此以往，树可能生长得很不平衡。我们其实是希望，小一些的树接到大一些的树下面，这样就能避免头重脚轻，更平衡一些。解决方法是额外使用一个size数组，记录每棵树包含的节点数，我们不妨称为「重量」：

    1. class UF {
    2.     private int count;
    3.     private int[] parent;
    4.     // 新增一个数组记录树的“重量”
    5.     private int[] size;
    7.     public UF(int n) {
    8.         this.count = n;
    9.         parent = new int[n];
    10.         // 最初每棵树只有一个节点
    11.         // 重量应该初始化 1
    12.         size = new int[n];
    13.         for (int i = 0; i < n; i++) {
    14.             parent[i] = i;
    15.             size[i] = 1;
    16.         }
    17.     }
    18.     /* 其他函数 */
    19. }

    比如说size[3] = 5表示，以节点3为根的那棵树，总共有5个节点。这样我们可以修改一下union方法：

    此时，find,union,connected的时间复杂度都下降为 O(logN)，即便数据规模上亿，所需时间也非常少。

    这步优化特别简单，所以非常巧妙。我们能不能进一步压缩每棵树的高度，使树高始终保持为常数？

    Union-Find算法详解 - 图8

    这样find就能以 O(1) 的时间找到某一节点的根节点，相应的，connected和union复杂度都下降为 O(1)。

    要做到这一点，非常简单，只需要在find中加一行代码：

    1. private int find(int x) {
    2.     while (parent[x] != x) {
    3.         // 进行路径压缩
    4.         parent[x] = parent[parent[x]];
    6.     }
    7.     return x;
    8. }

    这个操作有点匪夷所思，看个 GIF 就明白它的作用了（为清晰起见，这棵树比较极端）：

    可见，调用find函数每次向树根遍历的同时，顺手将树高缩短了，最终所有树高都不会超过 3（union的时候树高可能达到 3）。

    PS：读者可能会问，这个 GIF 图的find过程完成之后，树高恰好等于 3 了，但是如果更高的树，压缩后高度依然会大于 3 呀？不能这么想。这个 GIF 的情景是我编出来方便大家理解路径压缩的，但是实际中，每次find都会进行路径压缩，所以树本来就不可能增长到这么高，你的这种担心应该是多余的。

    我们先来看一下完整代码：

    1. class UF {
    2.     // 连通分量个数
    3.     private int count;
    4.     // 存储一棵树
    5.     private int[] parent;
    6.     // 记录树的“重量”
    7.     private int[] size;
    8.     public UF(int n) {
    9.         this.count = n;
    10.         parent = new int[n];
    11.         size = new int[n];
    12.         for (int i = 0; i < n; i++) {
    13.             parent[i] = i;
    14.             size[i] = 1;
    15.         }
    16.     }
    18.     public void union(int p, int q) {
    19.         int rootP = find(p);
    20.         int rootQ = find(q);
    21.         if (rootP == rootQ)
    22.             return;
    24.         // 小树接到大树下面，较平衡
    25.         if (size[rootP] > size[rootQ]) {
    26.             parent[rootQ] = rootP;
    27.             size[rootP] += size[rootQ];
    28.         } else {
    29.             parent[rootP] = rootQ;
    30.             size[rootQ] += size[rootP];
    31.         }
    32.         count--;
    33.     }
    35.     public boolean connected(int p, int q) {
    36.         int rootP = find(p);
    37.         int rootQ = find(q);
    38.         return rootP == rootQ;
    39.     }
    41.     private int find(int x) {
    42.         while (parent[x] != x) {
    43.             // 进行路径压缩
    44.             parent[x] = parent[parent[x]];
    45.             x = parent[x];
    46.         }
    47.         return x;
    48.     }
    50.     public int count() {
    51.         return count;
    52. }

    Union-Find 算法的复杂度可以这样分析：构造函数初始化数据结构需要 O(N) 的时间和空间复杂度；连通两个节点union、判断两个节点的连通性、计算连通分量count所需的时间复杂度均为 O(1)。

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