洗牌算法

    所以我们面临两个问题：

    1. 什么叫做「真的乱」？
    2. 设计怎样的算法来打乱数组才能做到「真的乱」？

    这种算法称为「随机乱置算法」或者「洗牌算法」。

    本文分两部分，第一部分详解最常用的洗牌算法。因为该算法的细节容易出错，且存在好几种变体，虽有细微差异但都是正确的，所以本文要介绍一种简单的通用思想保证你写出正确的洗牌算法。第二部分讲解使用「蒙特卡罗方法」来检验我们的打乱结果是不是真的乱。蒙特卡罗方法的思想不难，但是实现方式也各有特点的。

    此类算法都是靠随机选取元素交换来获取随机性，直接看代码（伪码），该算法有 4 种形式，都是正确的：

    分析洗牌算法正确性的准则：产生的结果必须有 n! 种可能，否则就是错误的。这个很好解释，因为一个长度为 n 的数组的全排列就有 n! 种，也就是说打乱结果总共有 n! 种。算法必须能够反映这个事实，才是正确的。

    我们先用这个准则分析一下第一种写法的正确性：

    2. int[] arr = {1,3,5,7,9};
    4. void shuffle(int[] arr) {
    5.     int n = arr.length(); // 5
    6.     for (int i = 0 ; i < n; i++) {
    7.         int rand = randInt(i, n - 1);
    8.     }
    9. }

    for 循环第一轮迭代时，i = 0，rand 的取值范围是 [0, 4]，有 5 个可能的取值。

    for 循环第二轮迭代时，i = 1，rand 的取值范围是 [1, 4]，有 4 个可能的取值。

    第二次

    后面以此类推，直到最后一次迭代，，rand 的取值范围是 [4, 4]，只有 1 个可能的取值。

    可以看到，整个过程产生的所有可能结果有 n! = 5! = 5*4*3*2*1 种，所以这个算法是正确的。

    所以整个过程产生的所有可能结果仍然有 5*4*3*2 = 5! = n! 种，因为乘以 1 可有可无嘛。所以这种写法也是正确的。

    如果以上内容你都能理解，那么你就能发现第三种写法就是第一种写法，只是将数组从后往前迭代而已；第四种写法是第二种写法从后往前来。所以它们都是正确的。

    如果读者思考过洗牌算法，可能会想出如下的算法，但是这种写法是错误的：

    1. void shuffle(int[] arr) {
    2.     int n = arr.length();
    3.     for (int i = 0 ; i < n; i++) {
    4.         // 每次都从闭区间 [0, n-1]
    5.         // 中随机选取元素进行交换
    6.         int rand = randInt(0, n - 1);
    7.         swap(arr[i], arr[rand]);
    8.     }

    现在你应该明白这种写法为什么会错误了。因为这种写法得到的所有可能结果有 $n^n$ 种，而不是 $n!$ 种，而且 $n^n$ 不可能是 $n!$ 的整数倍。

    比如说 arr = {1,2,3}，正确的结果应该有 $3!= 6$ 种可能，而这种写法总共有 $3^3 = 27$ 种可能结果。因为 27 不能被 6 整除，所以一定有某些情况被「偏袒」了，也就是说某些情况出现的概率会大一些，所以这种打乱结果不算「真的乱」。

    上面我们从直觉上简单解释了洗牌算法正确的准则，没有数学证明，我想大家也懒得证明。对于概率问题我们可以使用「蒙特卡罗方法」进行简单验证。

    洗牌算法，或者说随机乱置算法的正确性衡量标准是：对于每种可能的结果出现的概率必须相等，也就是说要足够随机。

    如果不用数学严格证明概率相等，可以用蒙特卡罗方法近似地估计出概率是否相等，结果是否足够随机。

    记得高中有道数学题：往一个正方形里面随机打点，这个正方形里紧贴着一个圆，告诉你打点的总数和落在圆里的点的数量，让你计算圆周率。

    正方形

    这其实就是利用了蒙特卡罗方法：当打的点足够多的时候，点的数量就可以近似代表图形的面积。通过面积公式，由正方形和圆的面积比值是可以很容易推出圆周率的。当然打的点越多，算出的圆周率越准确，充分体现了大力出奇迹的真理。

    类似的，我们可以对同一个数组进行一百万次洗牌，统计各种结果出现的次数，把频率作为概率，可以很容易看出洗牌算法是否正确。整体思想很简单，不过实现起来也有些技巧的，下面简单分析几种实现思路。

    第一种思路，我们把数组 arr 的所有排列组合都列举出来，做成一个直方图（假设 arr = {1,2,3}）：

    每次进行洗牌算法后，就把得到的打乱结果对应的频数加一，重复进行 100 万次，如果每种结果出现的总次数差不多，那就说明每种结果出现的概率应该是相等的。写一下这个思路的伪代码：

    这种检验方案是可行的，不过可能有读者会问，arr 的全部排列有 n! 种（n 为 arr 的长度），如果 n 比较大，那岂不是空间复杂度爆炸了？

    是的，不过作为一种验证方法，我们不需要 n 太大，一般用长度为 5 或 6 的 arr 试下就差不多了吧，因为我们只想比较概率验证一下正确性而已。

    第二种思路，可以这样想，arr 数组中全都是 0，只有一个 1。我们对 arr 进行 100 万次打乱，记录每个索引位置出现 1 的次数，如果每个索引出现的次数差不多，也可以说明每种打乱结果的概率是相等的。

    1. void shuffle(int[] arr);
    2. // 蒙特卡罗方法
    3. int N = 1000000;    
    4. int[] arr = {1,0,0,0,0};
    5. int[] count = new int[arr.length];
    6. for (int i = 0; i < N; i++) {
    7.     shuffle(arr); // 打乱 arr
    8.     for (int j = 0; j < arr.length; j++) 
    9.         if (arr[j] == 1) {
    10.             count[j]++;
    11.             break;
    12.         }
    13. }
    14.     print(feq / N + " "); // 频率

    这种思路也是可行的，而且避免了阶乘级的空间复杂度，但是多了嵌套 for 循环，时间复杂度高一点。不过由于我们的测试数据量不会有多大，这些问题都可以忽略。

    另外，细心的读者可能发现一个问题，上述两种思路声明 arr 的位置不同，一个在 for 循环里，一个在 for 循环之外。其实效果都是一样的，因为我们的算法总要打乱 arr，所以 arr 的顺序并不重要，只要元素不变就行。

    本文第一部分介绍了洗牌算法（随机乱置算法），通过一个简单的分析技巧证明了该算法的四种正确形式，并且分析了一种常见的错误写法，相信你一定能够写出正确的洗牌算法了。

    第二部分写了洗牌算法正确性的衡量标准，即每种随机结果出现的概率必须相等。如果我们不用严格的数学证明，可以通过蒙特卡罗方法大力出奇迹，粗略验证算法的正确性。蒙特卡罗方法也有不同的思路，不过要求不必太严格，因为我们只是寻求一个简单的验证。

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