题目描述（简单难度）

爬楼梯，每次走 1 个或 2 个台阶，n 层的台阶，总共有多少种走法。

解法一 暴力解法

用递归的思路想一下，要求 n 层的台阶的走法，由于一次走 1 或 2 个台阶，所以上到第 n 个台阶之前，一定是停留在第 n - 1 个台阶上，或者 n - 2 个台阶上。所以如果用 f ( n ) 代表 n 个台阶的走法。那么，

f ( n ) = f ( n - 1) + f ( n - 2 )。

f ( 1 ) = 1，f ( 2 ) = 2 。

发现个神奇的事情，这就是斐波那契数列（Fibonacci sequence）。

直接暴力一点，利用递归写出来。

时间复杂度：是一个树状图，

。

空间复杂度：

解法二 暴力解法优化

解法一很慢，leetcode 上报了超时，原因就是先求 climbStairsN ( n - 1 )，然后求 climbStairsN ( n - 2 ) 的时候，其实很多解已经有了，但是它依旧进入了递归。优化方法就是把求出的解都存起来，后边求的时候直接使用，不用再进入递归了。叫做 memoization 技术。

  2.     return climbStairsN(n, new HashMap<Integer, Integer>());
  3. }
  5. private int climbStairsN(int n, HashMap<Integer, Integer> hashMap) {
  6.     if (n == 1) {
  7.         return 1;
  8.     }
  9.     if (n == 2) {
  10.         return 2;
  11.     }
  12.     if (!hashMap.containsKey(n - 1)) {
  13.         n1 = climbStairsN(n - 1, hashMap);
  14.         hashMap.put(n - 1, n1);
  15.     } else {
  17.     }
  18.     int n2 = 0;
  19.     if (!hashMap.containsKey(n - 2)) {
  20.         n2 = climbStairsN(n - 2, hashMap);
  21.         hashMap.put(n - 2, n1);
  22.     } else {
  23.         n2 = hashMap.get(n - 2);
  24.     }
  25.     return n1 + n2;
  26. }

空间复杂度：

当然由于 key 都是整数，我们完全可以用一个数组去存储，不需要 Hash。

解法三 迭代

当然递归可以解决，我们可以直接迭代，省去递归压栈的过程。初始值 f ( 1 ) 和 f ( 2 )，然后可以求出 f ( 3 )，然后求出 f ( 4 ) … 直到 f ( n )，一个循环就够了。其实就是动态规划的思想了。

  1. public int climbStairs(int n) {
  2.     int n1 = 1;
  3.     if (n == 1) {
  4.         return n1;
  6.     if (n == 2) {
  7.         return n2;
  8.     }
  9.     //n1、n2 都后移一个位置
  10.     for (int i = 3; i <= n; i++) {
  11.         int temp = n2;
  12.         n2 = n1 + n2;
  13.         n1 = temp;
  14.     }
  15.     return n2;
  16. }

时间复杂度：O（n）。

空间复杂度：O（1）。

以上都是比较常规的方法，下边分享一下 里给出的其他解法。

解法四 矩阵相乘

Solution5叫做 Binets Method，它利用数学归纳法证明了一下，这里就直接用了，至于怎么想出来的，我也不清楚了。

定义一个矩阵

70. Climbing Stairs - 图1

，然后求 f ( n ) 话，我们先让 Q 矩阵求幂，然后取第一行第一列的元素就可以了，也就是

至于怎么更快的求幂，可以看 的解法三。

时间复杂度：O（log （n））。

空间复杂度：O（1）。

解法五 公式法

直接套用公式

70. Climbing Stairs - 图2

  1. public int climbStairs(int n) {
  2.     double sqrt5=Math.sqrt(5);
  3.     double fibn=Math.pow((1+sqrt5)/2,n+1)-Math.pow((1-sqrt5)/2,n+1);

时间复杂度：耗在了求幂的时候，O（log（n））。

空间复杂度：O（1）。

总

这道题把递归，动态规划的思想都用到了，很经典。此外，矩阵相乘的解法是真的强，直接将时间复杂度优化到 log 层面。

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