题目描述（困难难度）

给一个乱序的数组，求出数组排序以后的相邻数字的差最大是多少。

解法一

先来个直接的，就按题目的意思，先排序，再搜索。

但是正常的排序算法时间复杂度会是 ，题目要求我们在 O(n) 的复杂度下去求解。

自己想了各种思路，但想不出怎么降到 O(n)，把 给的题解分享一下吧。

我们一般排序算法多用快速排序，平均时间复杂度是 O(nlog(n))，其实还有一种排序算法，时间复杂度是 O(kn)，k 是最大数字的位数，当 k 远小于 n 的时候，时间复杂度可以近似看成 O(n)。这种排序算法就是基数排序，下边讲一下具体思想。

比如这样一个数列排序： 342 58 576 356， 我们来看一下怎么排序：

为了代码更好理解， 我们可以直接用 10 个 list 去存放每一组的数字，官方题解是直接用一维数组实现的。

对于取各个位的的数字，我们通过对数字除以 1, 10, 100… 然后再对 10 取余来实现。

解法二

上边的解法还不是真正的 O(n)，下边继续介绍另一种解法，参考了 -time-and-space) ，评论区对自己帮助很多。

我们知道如果是有序数组的话，我们就可以通过计算两两数字之间差即可解决问题。

我们可以只计算相邻箱子 min 和 max 的差值来解决问题吗？空箱子直接跳过。

第 2 个箱子的 min 减第 0 个箱子的 max，

第 3 个箱子的 min 减第 2 个箱子的 max， 33 - 29 = 4

看起来没什么问题，但这样做一定需要一个前提，因为我们只计算了相邻箱子的差值，没有计算箱子内数字的情况，所以我们需要保证每个箱子里边的数字一定不会产生最大 gap。

我们把箱子能放的的数字个数记为 interval，给定的数字中最小的是 min，最大的是 max。那么箱子划分的范围就是 min ~ (min + 1 * interval - 1)、(min + 1 * interval） ~ （min + 2 * interval - 1)、(min + 2 * interval） ~ （min + 3 * interval - 1)…，上边举的例子中， interval 我们其实取了 10。

划定了箱子范围后，我们其实很容易把数字放到箱子中，通过 (nums[i] - min) / interval 即可得到当前数字应该放到的箱子编号。那么最主要的问题其实就是怎么去确定 interval。

interval 过小的话，需要更多的箱子去存储，很费空间，此外箱子增多了，比较的次数也会增多，不划算。

interval 过大的话，箱子内部的数字可能产生题目要求的最大 gap，所以肯定不行。

所以我们要找到那个保证箱子内部的数字不会产生最大 gap，并且尽量大的 interval。

继续看上边的例子，0 3 4 6 23 28 29 33 38，数组中的最小值 和最大值 38 ,并没有参与到 interval 的计算中，所以它俩可以不放到箱子中，还剩下 n - 2 个数字。

因为在我们的某次计算中，会跳过一个空箱子，那么得到的 gap 一定会大于 interval，而箱子中的数字最大的 gap 是 interval - 1。

接下来的问题，怎么保证至少有一个空箱子呢？

鸽巢原理的变形，有 n - 2 个数字，如果箱子数多于 n - 2 ，那么一定会出现空箱子。总范围是 max - min，那么 interval = (max - min) / 箱子数，为了使得 interval 尽量大，箱子数取最小即可，也就是 n - 1。

所以 interval = (max - min) / n - 1 。这里如果除不尽的话，我们 interval 可以向上取整。因为我们给定的数字都是整数，这里向上取整的话对于最大 gap 是没有影响的。比如原来范围是 [0,5.5)，那么内部产生的最大 gap 是 5 - 0 = 5。现在向上取整，范围变成[0,6)，但是内部产生的最大 gap 依旧是 。

所有问题都解决了，可以安心写代码了。

总

这道题主要是对排序算法的了解，第一次见到了基数排序的应用，解法二其实是桶排序的步骤。

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